1.
Zacznijmy od pojedynczego okręgu np. 11-mandatowego. Przyjmijmy, że mamy 5 partii uczestniczących w podziale mandatów.
A – 35 proc; B – 32 proc.; C – 15 proc.; D – 10 proc.; E – 8 proc. (to tzw. efektywne poparcie – procenty sumują się do 100 proc.)
A ma 0,35 x 11 = 3,85 mandatu; ma zatem 3 mandaty, a „oddaje” do puli 0,85 mandatu (to tzw. reszta)
B ma 0,32 x 11 = 3,52 mandatu; ma zatem 3 mandaty, a „oddaje” do puli 0,52 mandatu (to tzw. reszta)
C ma 0,15 x 11 = 1,65 mandatu; ma zatem 1 mandat, a „oddaje” do puli 0,65 mandatu (to tzw. reszta)
D ma 0,10 x 11 = 1,10 mandatu; ma zatem 1 mandat, a „oddaje” do puli 0,10 mandatu (to tzw. reszta)
E ma 0,08 x 11 = 0,88 mandaty; ma zatem 0 mandatów, a „oddaje” do puli 0,88 mandatu (to tzw. reszta)
W przypadku takich wyników procentowych w tym okręgu średnio każda partia „oddała” do puli 0,58 mandatu (to średnia z zwartości 0,85; 0,52 ….; 0,88).
2.
Dołóżmy do tego pozostałe okręgi. Ich liczbę oznaczmy jak d. U nas d = 41. W każdym z d okręgów przeprowadzamy taką samą operację. Nietrudno zauważyć, że tzw. wartość oczekiwana (średnia) reszty dla każdej partii w 41 okręgach będzie dążyła do 0,5. Innymi słowy, każda partia będzie średnio w każdym okręgu traciła 0,5 mandatu.
3.
Ile mandatów będzie ostatecznie liczyła pula? Jeżeli każda partia wkłada do puli średnio 0,5 mandatu na okręg, a okręgów mamy 41; to można przyjąć, że każda partia wkłada do puli 41 x 0,5 mandatu, czyli 20,5 mandatu. Jeśli partii uczestniczących w podziale mandatów jest np. 5, to pula liczy 5 x 20,5 mandatu, czyli 102,5 mandatu.
4.
Co się dzieje z mandatami z puli? Są one dzielone między partie w sposób proporcjonalny na poziomie kraju (mówimy oczywiście o modelu matematycznym, a nie o podziale realnym, bo takiego podziału realnie na poziomie kraju nie ma). I tak, jeśli np. partia A ma na poziomie kraju 40 proc. poparcie to otrzymuje z puli 0,4 x 102,5 mandatu, czyli 41 mandatów.
5.
To wszystko można wyrazić wzorem:
Liczba mandatów dla partii A = (ods.A × m) – (d × 0,5) + (ods.A × n × d × 0,5) [wzór 1]
Liczba mandatów dla partii A = (ods.A × m) – 20,5 + (ods.A × n × 20,5) [wzór 1a]
gdzie:
- ods.A to efektywny odsetek głosów na partię A w skali kraju (np. partia A zyskała 32 proc.; ale na partie które przekroczyły próg głosowało łącznie 90 proc. wyborców; zatem efektywny odsetek głosów na partię A to 32/90 = 0,3555);
- m to liczba mandatów do zdobycia w skali kraju (u nas m = 460; z zastrzeżeniem, że w istocie jest to 459, bo 1 mandat MN w opolskim jest wyjęty z ogólnokrajowego modelu – ale tu zakładamy dla prostoty, że anomalii z mandatem dla MN nie ma);
- d to liczba okręgów wyborczych (u nas 41);
- n to liczba partii uczestniczących w podziale mandatów (załóżmy, że n = 5).
Podstawmy do wzoru [1], przyjmując, że efektywny odsetek dla partii A to 0,3555 :
Liczba mandatów dla partii A = (0,3555 × 460) – (41 × 0,5) + (0,3555 × 5 × 41× 0,5) =
= (0,3555 × 460) – (20,5) + (0,3555 × 102,5) =
= 163,53 – 20,5 + 36,44 = 179,47
Zauważ, że można też powiedzieć, że w systemie D’Hondta każda partia otrzymuje na początku dokładnie proporcjonalną liczbę mandatów, a następnie płaci podatek w wysokości 0,5 mandatu za każdy okręg (łącznie 20,5 mandatu). To jakby podatek „pogłówny” – każda partia płaci go w tej samej wysokości, ale dla partii na poziomie 0,40 – gdy z proporcji wychodzi jej 0,4 x 460 = 184 mandaty – ten podatek to zaledwie 11 proc. z 184 mandatów; podczas gdy dla partii na poziomie 0,10 (0,1 x 460 = 46) ten podatek to aż 44,5 proc. z 46.
Wzór [1a] można przekształcić:
Liczba mandatów dla partii A = (ods.A × m) – 20,5 + (ods.A × n × 20,5) =
= ods.A × m – ((n × 20,5) / n) + (m / n) – (m / n) + (ods.A × n × 20,5) =
= (m / n) + (ods.A – (1 / n) × (m + n × 20,5) [wzór 2]
W przypadku, gdy m = 460; n = 5 wzór ma postać:
Liczba mandatów dla partii A = 92 + (ods.A – 0,2) × (460 + 102,5) =
= 92 + (ods.A – 0,2) × (562,5) [wzór 3]
Jeśli we wzorze [3] zamiast odsetków (np. 0,352) użyjemy procentów (np. 35,2) wzór przybierze postać:
Liczba mandatów dla partii A = 92 + (proc.A – 20) × (4,60 + 1,025) =
= 92 + (proc.A – 20) × (5,625) [wzór 4]
I stąd się bierze taka precyzyjna wartość (5,625) jako nagroda lub kara za każdy procent w wyniku powyżej/poniżej 20 proc – gdy w podziale mandatów uczestniczy 5 partii. Jeśli uczestniczą 4 partie, to we wzorze [2] n = 4; gdy 3 partie n = 3; gdy 2 partie n = 2.
Stąd
Liczba mandatów dla partii A (gdy w podziale mandatów uczestniczą 4 partie) = 115 + (proc.A – 25) × (5,42)
Liczba mandatów dla partii A (gdy w podziale mandatów uczestniczą 3 partie) = 153,33 + (proc.A – 33,33) × (5,215)
Liczba mandatów dla partii A (gdy w podziale mandatów uczestniczą 2 partie) = 230 + (proc.A – 50) × (5,01)
Andrzej Machowski
